nº 027
20 de Janeiro de 2009

A Quarta Lei de Kepler

Irineu Gomes Varella *

 

O ano de 2009 foi proclamado, pela Organização das Nações Unidas, como o Ano Internacional da Astronomia (IYA2009), considerando a sugestão da União Astronômica Internacional (IAU), que aprovou em, sua Assembléia Geral, em 2003, uma resolução nesse sentido. A principal (e muito justa) motivação para isso, foi o fato que em 2009 comemora-se 400 anos do início das observações telescópicas efetuadas pelo físico e astrônomo italiano Galileu Galilei (1564-1642), que trouxe uma dimensão inusitada para toda a Astronomia.

Entretanto, não devemos esquecer que em 2009 também se estará comemorando os 400 anos da publicação da Astronomia Nova, de Johannes Kepler (1571-1630), obra em que ele apresenta as suas primeiras leis para o movimento planetário - as chamadas Lei das Órbitas e Lei das Áreas. A terceira lei, ou Lei Harmônica, só descoberta dez anos mais tarde, em 1619, portanto, foi divulgada, em 1620, no Epitome Astronomiæ Copernicanæ.

O que, no entanto, poucas pessoas conhecem é que ao lado das primeiras leis publicadas na Astronomia Nova, em 1609, Kepler formulou uma outra lei que, se válida, seria hoje considerada como uma quarta Lei de Kepler e que poderíamos denominá-la "Lei das Velocidades" ou "Lei Cinemática":

" A velocidade de um planeta é, em cada instante, inversamente proporcional à sua distância ao Sol. "

A afirmação não é correta. Seria válida se considerasse a componente da velocidade orbital de um planeta perpendicular ao seu raio vetor. Esta sim é inversamente proporcional à distância do planeta ao Sol, como veremos adiante. Antes, porém, de prosseguir em nossa exposição, vamos recordar ao leitor de forma bastante sucinta, as tradicionais leis do movimento dos planetas, estabelecidas por Kepler no século XVII.

 
 
AS LEIS DE KEPLER PARA O MOVIMENTO PLANETÁRIO
 
Todos os planetas do Sistema Solar movimentam-se ao redor do Sol obedecendo às chamadas leis de Kepler. O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) analisando uma grande quantidade de observações astronômicas efetuadas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), em especial das posições do planeta Marte no céu, concluiu, empiricamente, três leis do movimento planetário, chamadas leis de Kepler.
 
1ª Lei ou LEI DAS ÓRBITAS (1609)
A órbita de cada planeta ao redor do Sol é uma elipse, situando-se o Sol, em um de seus focos.
 
 
Fig.01 - Órbita planetária com excentricidade propositalmente exagerada, para ressaltar a variação da distância planeta-Sol. A posição do planeta, em sua órbita, pode ser expressa por duas coordenadas polares, como indicadas na figura.
 
Adotando-se um sistema de coordenadas polares com pólo no Sol e com eixo na direção Sol-periélio da órbita, orientado nesse sentido, a distância de um planeta ao Sol ( r ) pode ser calculada para cada posição do planeta dada pelo ângulo , chamado de anomalia verdadeira, contado a partir da direção do periélio (ponto P) no sentido de movimento do planeta, pela expressão:
 
onde a é o semi-eixo maior da órbita e e a sua excentricidade.
 
2ª Lei ou LEI DAS ÁREAS (1609)
O raio vetor de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
 
O vetor com origem no centro do Sol e extremidade no centro do planeta é chamado de raio vetor do planeta. Consideremos, como na figura 02, um planeta descrevendo uma órbita ao redor do Sol. Sejam M, N, Q e R, quatro posições do planeta.
 
Fig.02 - As áreas dos triângulos SMPN e SQAR são iguais pois foram varridas pelo raio-vetor no mesmo intervalo de tempo.
 
Unindo-se os pontos M, N, Q e R ao Sol ( S ), formam-se dois triângulos ( MSN e QSR ), ambos com bases curvilíneas ( arcos de elipse ). A segunda lei de Kepler afirma que se os arcos de elipse MN e QR forem percorridos no mesmo intervalo de tempo, o que acarreta no fato das áreas dos triângulos MSN e QSR terem sido varridas pelo raio-vetor do planeta no mesmo intervalo de tempo, então as áreas dos dois triângulos são iguais.
 
3ª Lei ou LEI HARMÔNICA (1619)
A relação entre o cubo do semi-eixo maior da órbita e o quadrado do período de translação
ao redor do Sol é constante para todos os planetas.
 
Na realidade, a relação citada na terceira lei de Kepler é apenas aproximadamente constante para todos os planetas. Se considerarmos a o semi-eixo maior da órbita de um planeta ao redor do Sol e P o seu período de translação então,
 
 
onde M e m são as massas do Sol e do planeta, respectivamente. A expressão anterior mostra que a relação entre o cubo do semi-eixo maior e o quadrado do período de translação depende da soma das massas do Sol e do planeta. A maioria dos planetas tem massas muito pequenas quando comparadas com a massa do Sol de modo que a soma anterior tem valor quase igual à massa solar. Daí o resultado obtido por Kepler.
 
 
POR QUE NÃO É VÁLIDA A "QUARTA LEI DE KEPLER" ?
 
A velocidade orbital de um planeta é um vetor tangente à elipse descrita pelo planeta ao redor do Sol. Um vetor tangente a uma elipse NÃO é, no caso geral, perpendicular a nenhum dos segmentos que une o ponto de tangência aos focos. Desta maneira, o vetor velocidade não é, em geral, perpendicular ao raio-vetor do planeta, exceto quando ocorrem as passagens periélica e afélica.
 
Fig. 03 - A velocidade orbital de um planeta e suas componentes radial e normal ao raio-vetor.
 
Podemos, então, decompor o vetor velocidade em duas componentes com direções perpendiculares entre si: uma normal ao raio-vetor e outra na sua direção ou direção radial, como está ilustrado na figura 03. A partir da expressão diferencial para a lei das áreas - uma conseqüência da Lei da Conservação do Momento Angular - podemos obter as expressões para as velocidades radial e normal ao raio-vetor.
 
 
A EXPRESSÃO DIFERENCIAL DA LEI DAS ÁREAS
 
A figura abaixo ilustra a situação de um planeta descrevendo um pequeno arco de sua trajetória ao redor do Sol, com comprimento dS. No mesmo intervalo de tempo, a anomalia verdadeira tem uma pequena variação representada por d. Considerando que durante o pequeno intervalo de tempo o raio-vetor não sofre uma variação significativa em seu comprimento, podemos calcular a área dA do triângulo formado pelo Sol e pelas duas posições ocupadas pelo planeta, pela seqüência de passos ilustrados abaixo. A chamada velocidade areolar do planeta ( dA/dt ), que corresponde à area varrida pelo raio-vetor na unidade de tempo, pode ser também obtida:
 
Pode-se demonstrar que a constante C, que corresponde ao dobro do valor da velocidade areolar, tem por valor:
 
Nessa expressão, G representa a constante de Gravitação Universal, M a massa do Sol, m a massa do planeta, a o semi-eixo maior e e a excentricidade orbital.
 
 
A COMPONENTE NORMAL DA VELOCIDADE ORBITAL
 
A partir da expressão diferencial da lei das áreas, obtemos:
 
 
Como se verifica, esta componente é inversamente proporcional à distância do planeta ao Sol.
 
 
A COMPONENTE RADIAL DA VELOCIDADE ORBITAL
 
Derivando, em relação ao tempo, a expressão que relaciona o módulo do raio-vetor com a anomalia verdadeira e utilizando o resultado anterior, obtemos:
 
 
Especial atenção deve ter o leitor para não confundir a derivada temporal do raio-vetor, que corresponde ao vetor velocidade orbital, com a derivada temporal do módulo do raio-vetor, efetuada acima, que corresponde ao módulo da velocidade radial.
 
 
A VELOCIDADE ORBITAL AO REDOR DO SOL
 
Aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo cujos catetos são as velocidades radial e normal e cuja hipotenusa é a velocidade orbital e fazendo uso das expressões anteriores para as velocidades radial e normal e efetuando-se as substituições necessárias para eliminar a anomalia verdadeira, obtemos a seguinte expressão para o módulo da velocidade orbital:
 
 
A expressão anterior deixa evidente que a velocidade orbital de um planeta ao redor do Sol, não é, em cada instante, inversamente proporcional à sua distância ao Sol. Cabe também ressaltar que na ocasião em que Kepler fez as suas descobertas ainda não existia o Cálculo Diferencial, de maneira que a noção de velocidade sobre uma curva não havia ainda sido estabelecida de maneira rigorosa, do ponto de vista matemático. Além disso, o fato das órbitas no Sistema Solar serem elipses de pequenas excentricidades, provavelmente dificultou a percepção de Kepler com relação à alteração da velocidade orbital em função da variação da distância do planeta ao Sol.
 

Referências:
 
Kovalevsky, J. - L'Astronomie - 77º année - Juin 1963 - p.235 - Paris.
Danjon, A. - Astronomie Générale - 1980 - Paris
Boulet, D. - Methods of Orbit Determination for the Microcomputer - Willmann-Bell - 1991 - Richmond.
Varella, I.G. & Oliveira, P.D.C.F. - Astronomia do Sistema Solar - 4a. Edição - 2007 - São Paulo.
Varella, I.G. - As Leis de Kepler - 1996 - São Paulo.
 

 
Este texto faz parte do Projeto de Divulgação da Astronomia do Grupo Uranometria Nova durante o
 
     
 
Produção, autores e contatos

* Irineu Gomes Varella

Astrônomo. Diretor do Planetário do Ibirapuera
e da Escola Municipal de Astrofísica
de São Paulo, no período de 1980 a 2002.

Priscila D. C. F. de Oliveira

Coordenadora do Centro de Documentação Técnica e Científica em Astronomia do Planetário e
Escola Municipal de Astrofísica de S Paulo.

Ultima atualização: 20 de Janeiro de 2009
Web Designer: Irineu Gomes Varella

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