nº 015
04 de Julho de 2005

A Seqüência de

Titius - Bode

 
Irineu Gomes Varella*
 

REPRESENTAÇÃO DAS DISTÂNCIAS PLANETÁRIAS
POR SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS - PARTE I

Após a publicação, em 1596, do Mysterium Cosmographicum de Johannes Kepler (1571-1630) inúmeros astrônomos e matemáticos (principalmente alemães) começaram a tentar encontrar uma seqüência numérica simples que pudesse fornecer as distâncias médias ao Sol dos seis planetas então conhecidos: Mercúrio, Vênus, a Terra, Marte, Júpiter e Saturno.

Em sua obra, Kepler preocupou-se em encontrar uma "lei" que permitisse representar as distâncias relativas dos planetas ao Sol. Naquela época, os planetas eram ainda imaginados presos à superfícies esféricas com seus centros no Sol. Havia, portanto, seis esferas: uma para cada um dos planetas conhecidos. Entre elas existiam cinco intervalos e partindo dos valores de Copérnico para os raios dessas esferas, Kepler ajustou cinco sólidos geométricos entre elas, na seguinte ordem ( fig. 1 ):

Esfera de Saturno
CUBO
Esfera de Júpiter
TETRAEDRO
Esfera de Marte
DODECAEDRO
Esfera da Terra
ICOSAEDRO
Esfera de Vênus
OCTAEDRO
Esfera de Mercúrio
Fig. 1 - Representação das distâncias planetárias

A relação entre os raios das esferas que circunscreviam os sólidos indicados forneciam, na suposição de Kepler, as relações entre as distâncias dos planetas ao Sol. Além disso, pelo fato de existirem somente cinco poliedros regulares ( chamados poliedros de Platão ), Kepler chegou a supor que o número máximo de planetas deveria ser seis!

Quase um século e meio depois, em 1741, o físico e matemático alemão Christian Freiherr von Wolf (1679-1754) mostrou que um tipo de progressão poderia, com duas exceções, representar as distâncias dos planetas ao Sol. Essa idéia foi tomada por seu jovem discípulo Immanuel Kant (1724-1804) e desenvolvida em 1766 por Johann Daniel Tietz (1729-1796) conhecido pelo seu nome latinizado de Titius ( pronuncia-se: Tícius ) de Wittenberg.

 
Fig. 2 - Johann Daniel Tietz (1729-1796)
Fig. 3 - Johann Elert Bode (1747-1826)

Titius mostrou que tomando-se o valor 10 para a distância Terra-Sol, as distâncias médias dos planetas poderiam ser representadas partindo-se da seqüência :

0, 1, 2, 4, 8, 16 e 32

que se constitui, a partir do segundo termo, em uma progressão geométrica de razão 2. Multiplicando-se cada um de seus termos por 3,

0, 3, 6, 12, 24, 48 e 96

e adicionando-se 4 unidades a cada um deles, obtemos:

4, 7, 10, 16, 28, 52 e 100

Os termos da seqüência anterior podem ser representados, com exceção do primeiro termo, por 4 + 3.2n, onde "n" é um número natural. Os termos da seqüência correspondiam às distâncias ao Sol dos planetas de Mercúrio a Saturno com uma única exceção: a posição correspondente a n = 3 ( d = 28 ). Para n = 0, obtemos 7, que corresponde à distância de Vênus ao Sol; para n = 1, obtemos 10 ( distância Terra- Sol ) e assim por diante.

MERCÚRIO
VÊNUS
TERRA
MARTE
----
JÚPITER
SATURNO
4
7
10
16
28
52
100

Essa representação foi colocada por Titius na tradução que fez para o alemão da obra de Charles Bonnet intitulada Contemplation de la Nature, publicada em Wittenberg.

Em 1772, o astrônomo alemão Johann Elert Bode (1747-1826), então diretor do Observatório de Berlim, entusiasmado com a "progressão" de Titius e convencido de sua validade tornou-se logo o seu grande divulgador. A "progressão" passou a ser designada também, e muitas vezes somente, com o seu nome. Hoje em dia é citada na literatura de divulgação astronômica como série de Bode, progressão de Bode, regra de Bode e mais impropriamente, como Lei de Bode. Não se trata, na realidade, de uma lei física: ela não pode ser deduzida a partir das leis da mecânica e nem das considerações sobre o movimento orbital dos planetas estabelecidas pela Mecânica Celeste. Pode-se considerá-la, apenas, uma maneira de representar as distâncias planetárias através de uma sucessão de números. Por isso, a melhor designação é, a meu ver, seqüência de Titius-Bode ( pronuncia-se: Tícius-Bôde).


A SEQÜÊNCIA DE TITIUS-BODE


Constroi-se, inicialmente, uma seqüência de números naturais principiando por 0 ( zero ), em seguida 1 e, a partir desse último, duplica-se o valor do termo anterior:

0,
1,
2,
4,
8,
16
e
32

Com exceção do 0, os termos da seqüência são potências de base 2:

0,
20,
21,
22,
23,
24
e
25

Multiplicando-se cada termo por 3:

0,
3,
6,
12,
24,
48
e
96

e, em seguida, adicionando-se 4 unidades a cada termo e dividindo-se o resultado por 10, obtemos:

0,4
0,7
1,0
1,6
2,8
5,2
e
10,0

Esses números representam, de modo aproximado, as distâncias médias dos planetas ao Sol, tomando-se como unidade a distância média Terra-Sol:


PLANETA:  
MERCÚRIO
 
VÊNUS
 
TERRA
 
MARTE
 
---
 
JÚPITER
 
SATURNO
DISTÂNCIA:  
0,4
 
0,7
 
1,0
 
1,6
 
2,8
 
5,2
 
10,0

Desta forma, a distância média de Mercúrio ao Sol é 4/10 = 0,4 da terrestre; a de Vênus, 7/10 = 0,7 e a de Saturno 10 vezes a distância da Terra ao Sol.

A distância média Terra-Sol ( semi-eixo maior da órbita terrestre ) é chamada Unidade Astronômica ( símbolizada por A ou por UA ) e seu valor aproximado é de 150 milhões de quilômetros. Para a distância média ao Sol do planeta Mercúrio, teremos:

d = 0,4 A = 0,4 x 150.000.000 km = 60.000.000 km

A seqüência representa ( pelo menos até Saturno ) com bastante aproximação os valores dos semi-eixos maiores das órbitas planetárias e impressionou muitos astrônomos da época. Alguns anos após a sua ampla divulgação, o astrônomo alemão radicado na Inglaterra - Sir William Herschel - descobre, em 1781, o planeta Urano, situado para além do planeta Saturno, até então, o limite conhecido do Sistema Solar. Pronto se verificou que Urano se encontrava a uma distância do Sol que podia também ser reproduzida por um termo da seqüência. De fato, duplicando-se o termo correspondente a Saturno ( 32 x 2 = 64 = 26 ), multiplicando-o por 3, adicionando-se 4 unidades e dividindo-se o resultado por 10, obtemos:

( 64 x 3 + 4 ) / 10 = ( 192 + 4 ) / 10 = 196 / 10 = 19,6

que, comparado com o valor observado de 19,18 A, mostra-se com bom acordo.

Um fato que não deve ter passado despercebido ao leitor e, muito menos aos astrônomos daquela época, ainda mais que o recém-descoberto planeta Urano também parecia "obedecer" à "lei" de Bode, é que havia uma lacuna na distância correspondente a 2,8 A. Não se conhecia planeta algum que gravitasse ao redor do Sol a essa distância.

Kepler já havia postulado a existência de um planeta ainda não observado entre as órbitas de Marte e Júpiter. Em 1772, antes mesmo da descoberta de Urano, Bode lançou a mesma hipótese. É facil de imaginar que quando Urano foi descoberto por Herschel e daí se verificou que a sua distância podia ser reproduzida pela seqüência de Titius-Bode, a crença na existência de um planeta que orbitasse o Sol entre as órbitas de Marte e Júpiter aumentou muito e houve um forte impulso nos trabalhos observacionais destinados à sua procura.

Em quase 20 anos de persistentes e minuciosos estudos esquadrinhando o céu, os astrônomos nada descobriram. Na noite de 01 de janeiro de 1801, o astrônomo italiano Giuseppe Piazzi ( 1746-1826 ), Diretor do Observatório de Palermo, descobriu, na constelação de Taurus, um pequeno corpo celeste com brilho equivalente ao de uma estrela de magnitude 8 e que se movia lentamente por entre as estrelas. No princípio pensou-se tratar de um cometa, mas em seguida verificou-se que se estava diante de um tipo novo de astro: um pequeno planeta ou um asteróide, como foi designado posteriormente. Por sugestão de Bode, o novo corpo celeste recebeu o nome de Ceres.

O novo membro conhecido do Sistema Solar gravitava ao redor do Sol a uma distância de 2,77 vezes a da Terra. Estava, assim, preenchida a lacuna. Nos anos que se seguiram muitos outros asteróides foram descobertos e, atualmente, mais de 50.000 já estão catalpgados.

Para os planetas Netuno e Plutão, descobertos respectivamente em 1846 e 1930, o bom acordo da seqüência de Titius Bode, que se verificava para os planetas até Urano, foi completamente desfeito. Suas distâncias fornecidas pela seqüência diferem demasiadamente dos valores medidos. Com efeito, construíndo-se mais dois termos para a seqüência, teremos:

Para Netuno:   ( 128 x 3 + 4 ) / 10 = ( 384 + 4 ) / 10 = 388 / 10 = 38,8
     
Para Plutão:   ( 256 x 3 + 4 ) / 10 = ( 768 + 4 ) / 10 = 772 / 10 = 77,2

Os valores determinados para as suas distâncias ao Sol são: 30,06 A para Netuno e 39,44 A para Plutão.


TABELA 1 - DISTÂNCIAS REAIS E PELA SEQÜÊNCIA DE T-B

PLANETA  
DISTÂNCIA
 
STB
  PLANETA  
DISTÂNCIA
 
STB
   
 
     
 
MERCÚRIO  
0,3871
 
0,4000
  JÚPITER  
05,2028
 
05,2000
VÊNUS  
0,7233
 
0,7000
  SATURNO  
09,5388
 
10,0000
TERRA  
1,0000
 
1,0000
  URANO  
19,1820
 
19,6000
MARTE  
1,5237
 
1,6000
  NETUNO  
30,0578
 
38,8000
CERES  
2,7661
 
2,8000
  PLUTÃO  
39,4387
 
77,2000


REFERÊNCIAS:

1. BERRY, A. - A Short History of Astronomy - Dover Publ. Inc. 1961

2. DREYER, J.L.E. - A History of Astronomy from Thales to Kepler - Dover Pub. In. 1953

3. GROSSER, M. - The Discovery of Neptune - Dover Publ. Inc. 1979

4. ORSINI, A. - A Regra de Bode - Planetário e Esc. Mun de Astrofisica S. Paulo - 1971

5. ARAGO, F. - Astronomie Populaire - Tomo IV - Gide Editeur & T.O.Weigel - 1857

6. COMAS-SOLÁ, J. - Astronomía - Ed. Ramón Sopena - Barcelona - 1973

7. MULLER, A. - Elementi di Astronomia - Desdée, Levebvre e C. Edit. Roma - 1904

8. VARELLA, I.G. (ed) - Efemérides Astronômicas para 1987 - PMSP/SSO/DEPAVE-1987

9. VARELLA, I.G. - A Seqüência de Titius-Bode e Outras Seqüências - Planet. SP - 1991


Produção e contatos

* Irineu Gomes Varella

Astrônomo. Diretor do Planetário e Escola Municipal de Astrofísica de São Paulo, no período de 1980 a 2002.

Priscila D. C. F. de Oliveira

Coordenadora do Centro de Documentação Técnica e Científica em Astronomia do Planetário e E. M. de Astrofísica de S Paulo.

Publicação original: Fevereiro de 1991
Ultima atualização: 09 de Julho de 2005
Web Designer: Walter Torres Varella - waltervarella@ig.com.br


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