nº 016
09 de Julho de 2005

A Seqüência de

Wurm & Outras

 
Irineu Gomes Varella*
 

REPRESENTAÇÃO DAS DISTÂNCIAS PLANETÁRIAS
POR SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS - PARTE II

 

A SEQÜÊNCIA DE WURM

A boa aproximação entre os termos da seqüência de Titius-Bode (STB) e os valores determinados das distâncias planetárias estimulou vários astrônomos a tentar aperfeiçoá-la, melhorando o seu grau de aproximação. Nessa linha, o astrônomo alemão Wurm substituiu os números da STB por outros. Partindo, também, da seqüência
                 
0,
1,
2,
4,
8,
16,
32
e
64

multiplicando cada termo por 293 e somando ao resultado 387:

387,
680,
973,
1.559,
2.731,
5.075,
9.763
e
19.139

Dividindo cada termo por 970, obteve, para as distâncias planetárias:

                             
MERCÚRIO
 
VÊNUS
 
TERRA
 
MARTE
 
ASTER.
 
JÚPITER
 
SATURNO
 
URANO
0,3990
 
0,7010
 
1,0031
 
1,6072
 
2,8155
 
5,2320
 
10,0650
 
19,7309


Como no caso da STB, aplicando-se as mesmas operações para a produção dos termos concernentes a Netuno e Plutão, teremos:

Para Netuno:
 
( 128 x 293 + 387) / 970 = 39,0629
 
Para Plutão:
 
( 256 x 293 + 387) / 970 = 77,7268

 

A SEQÜÊNCIA DE REYNAUD

Outra representação bastante simples para as distâncias planetárias foi obtida por P. Reynaud por um caminho diverso dos astrônomos anteriores. Reynaud considerou o Sistema Solar dividido em dois grupos de planetas separados pelo cinturão principal de asteróides. As distâncias, no primeiro grupo ( planetas internos ) são obtidas a partir da seqüência:

1,
2,
4,
6,
e
8

que, a partir do segundo termo é uma progressão aritmética (PA) de razão 2. Multiplicando-se cada termo por 0,17, tem-se

 
MERCÚRIO
 
VÊNUS
 
TERRA
 
MARTE
0,17
 
0,34
 
0,68
 
1,02
 
1,36

ficando o primeiro termo sem correspondência com algum astro. Para o segundo grupo ( planetas externos ) as distâncias são obtidas multiplicando-se os valores anteriores por 30:

JÚPITER
 
SATURNO
 
URANO
 
NETUNO
 
PLUTÃO
5,10
 
10,2
 
20,4
 
30,6
 
40,8

É interessante notar que quando Reynaud divulgou estes resultados, o planeta Plutão ainda não havia sido descoberto. Apesar da seqüência apresentar um vazio ( 0,17 ) e não conter um termo para a distância dos asteróides, mostra-se com bom acordo em relação aos valores medidos das distâncias. O valor de 0,17 pode ser considerado como uma constante do esquema de obtenção dos demais valores sem ter, necessariamente, que representar a distância de algum planeta ao Sol.

Por coincidência, o referido valor está muito próximo do valor deduzido pelo astrônomo francês U.J.J. Leverrier, em 1859, para a distância do hipotético planeta Vulcano ao Sol, que era de 0,1427 Unidades Astronômicas. A existência de tal planeta foi por ele admitida para explicar o avanço pronunciado do periélio do planeta Mercúrio, uma vez que a aplicação da Mecânica Newtoniana não permitia explicar completamente o valor observado desse avanço.

 

A SEQÜÊNCIA DE ARMELLINI

Em 1922, o astrônomo italiano Giuseppe Armellini ( 1887-1958 ) divulgou uma outra seqüência numérica para expressar as distâncias planetárias baseando-se, também, numa progressão geométrica cuja razão é 1,53:

1,53-2
1,53-1
1,530
1,531
1,532
1,533
1,534
......
1,539

que correspondem aos valores aproximados de:

0,43
0,65
1,00
1,53
2,34
3,58
5,48
......
45,94

Nem todos, dos doze termos, correspondiam aos planetas. O planeta Plutão, correspondente ao valor 1,539 = 45,94 ainda não havia sido descoberto. Aos termos 1,532 = 2,34 e 1,533 = 3,58 se fez corresponder respectivamente aos asteróides 4.Vesta e 107.Camilla. Restou a lacuna 1,536 = 12,83 entre os planetas Saturno e Urano que somente foi preenchida em 1977, quando Charles Kowall descobriu 2060.Chiron = 95P/Chiron, um objeto do tipo centauro, que se encontra a 13,87 A do Sol. Os centaurus são corpos do Sistema Solar que apresentam características asteroidais e cometárias simultaneamente e serão objeto de um texto da série Astronomia & Astrofísica, em breve.

Os termos da seqüência de Armellini podem ser representados por 1,53n-3 onde n é um número natural compreendido entre 1 e 12. As distâncias dos planetas e asteróides passam a ser representadas por:

TABELA 1 - DISTÂNCIAS PELA SEQÜÊNCIA DE ARMELLINI

n
  PLANETA  
d
 
n
  PLANETA  
d

1
  Mercúrio  
0,43
 
07
  Júpiter  
05,48
2
  Vênus  
0,65
 
08
  Saturno  
08,38
3
  Terra  
1,00
 
09
  Quíron  
12,83
4
  Marte  
1,53
 
10
  Urano  
19,63
5
  Vesta  
2,34
 
11
  Netuno  
30,03
6
  Camilla  
3,58
 
12
  Plutão  
45,94

 

AJUSTE ESTATÍSTICO DE DAMIANI

Por fim, citaremos o ajuste feito pelo estatístico francês Damiani que conseguiu representar as distâncias planetárias por meio de um expressão matemática envolvendo funções transcendentes, como a exponencial de base e = 2,71828... e os senos de dois ângulos:

Nessa expressão, an é a distância de um planeta ao Sol, k, A, B, p, q são constantes cujos valores estão indicados abaixo e n é um número natural que assume valores entre 2 e 11 para os planetas e para o cinturão dos asteróides ( veja na tabela ).

k = 0,422
A = 0,36
B = 0,08
p = 9º
q = 49,5º


TABELA 2 - DISTÂNCIAS PELO AJUSTE DE DAMIANI

n
  PLANETA  
d
 
n
  PLANETA  
d

2
  Mercúrio  
0,374
 
07
  Júpiter  
04,938
3
  Vênus  
0,724
 
08
  Saturno  
10,186
4
  Terra  
1,068
 
09
  Urano  
18,730
5
  Marte  
1,481
 
10
  Netuno  
29,523
6
  Asteróides  
2,438
 
11
  Plutão  
40,108

Para efeito de comparação, na tabela abaixo estão relacionadas as distâncias medidas dos planetas ao Sol e os valores obtidos pelos processos acima descritos:


TABELA 3 - DISTÂNCIAS REAIS E CALCULADAS

PLANETA  
DISTÂNCIA
 
WURM
 
REYNAUD
 
ARMELLINI
 
DAMIANI

MERCÚRIO  
00,3871
 
00,3990
 
00,3400
 
00,4272
 
00,3745
VÊNUS  
00,7233
 
00,7010
 
00,6800
 
00,6536
 
00,7245
TERRA  
01,0000
 
01,0031
 
01,0200
 
01,0000
 
01,0682
MARTE  
01,5237
 
01,6072
 
01,3600
 
01,5300
 
01,4805
JÚPITER  
05,2028
 
05,2320
 
05,1000
 
05,4798
 
04,9380
SATURNO  
09,5388
 
10,0650
 
10,2000
 
08,3841
 
10,1862
URANO  
19,1820
 
19,7309
 
20,4000
 
19,6264
 
18,7304
NETUNO  
30,0578
 
39,0630
 
30,6000
 
30,0284
 
29,5228
PLUTÃO  
39,4387
 
77,7268
 
40,8000
 
45,9434
 
40,1083

 

REFERÊNCIAS:

1. BERRY, A. - A Short History of Astronomy - Dover Publ. Inc. 1961

2. DREYER, J.L.E. - A History of Astronomy from Thales to Kepler - Dover Pub. In. 1953

3. GROSSER, M. - The Discovery of Neptune - Dover Publ. Inc. 1979

4. ORSINI, A. - A Regra de Bode - Planetário e Esc. Mun de Astrofisica S. Paulo - 1971

5. ARAGO, F. - Astronomie Populaire - Tomo IV - Gide Editeur & T.O.Weigel - 1857

6. COMAS-SOLÁ, J. - Astronomía - Ed. Ramón Sopena - Barcelona - 1973

7. MULLER, A. - Elementi di Astronomia - Desdée, Levebvre e C. Edit. Roma - 1904

8. VARELLA, I.G. (ed) - Efemérides Astronômicas para 1987 - PMSP/SSO/DEPAVE-1987

9. VARELLA, I.G. - A Seqüência de Titius-Bode e Outras Seqüências - Planet. SP - 1991


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Produção e contatos

* Irineu Gomes Varella

Astrônomo. Diretor do Planetário e Escola Municipal de Astrofísica de São Paulo, no período de 1980 a 2002.

Priscila D. C. F. de Oliveira

Coordenadora do Centro de Documentação Técnica e Científica em Astronomia do Planetário e E. M. de Astrofísica de S Paulo.

Publicação original: Fevereiro de 1991
Ultima atualização: 09 de Julho de 2005
Web Designer: Walter Torres Varella - waltervarella@ig.com.br


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